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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
c) $f(x)=x \ln \left(e-\frac{1}{x}\right)$
c) $f(x)=x \ln \left(e-\frac{1}{x}\right)$
Respuesta
Asíntotas verticales
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Para determinar el dominio de esta función, por un lado fijate que $x \neq 0$, y además tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero:
\( e - \frac{1}{x} > 0 \)
$\frac{ex-1}{x} > 0$
Vamos a resolver esto con las mismas ideas que usamos allá hace tiempo, al principio de la materia jaja... Si tenemos un cociente que nos está dando algo positivo $(>0)$, entonces hay dos opciones:
Opción 1: Numerador y denominador positivos
$x > 0$
y
$ex - 1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{e}$
Es decir, es el conjunto $(\frac{1}{e}, + \infty)$
Opción 2: Numerador y denominador negativos
$x < 0$
y
$ex - 1 < 0 \rightarrow x < \frac{1}{e}$
Es decir, es el conjunto $(-\infty, 0)$
Por lo tanto, el dominio de $f$ es $(-\infty, 0) \cup (\frac{1}{e}, + \infty)$
Con este dominio, nuestros candidatos a asíntota vertical son los bordes, es decir, $x = 0$ y $x= \frac{1}{e} $
Estudiamos primero $x=0$, tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ por izquierda:
$\lim_{x \to 0^-} x \ln(e-\frac{1}{x}) $
Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero por infinito". Acordate que $\ln(+\infty) = +\infty$. Reescribimos como un cociente para poder aplicar L'Hopital:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{ \ln(e-\frac{1}{x}) }{ \frac{1}{x} }$
Ahora es una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplico L'Hopital:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{ \frac{1}{e-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} }{ -\frac{1}{x^2} } = \lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{e-\frac{1}{x}} = 0 $
Como el límite no nos dio $\infty$, $x=0$ no es asíntota vertical
(Pregunta, ¿por qué no calculo el límite por derecha?)
Ahora estudiamos si $x= \frac{1}{e}$ es asíntota vertical. Tomamos el límite por derecha:
$\lim_{x \to (\frac{1}{e})^+} x \ln(e-\frac{1}{x}) $
Acordate que $\ln(0^+) = -\infty$, por lo tanto este límite nos da...
$\lim_{x \to (\frac{1}{e})^+} x \ln(e-\frac{1}{x}) = -\infty$
Es decir, $f$ tiene una asíntota vertical en $x= \frac{1}{e}$.
(Pregunta, ¿y acá por qué no lo calculé por izquierda? Pista, es por la misma razón que en la anterior)
Asíntotas horizontales
$\lim_{x \to +\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) = -\infty$
Como no tenemos asíntotas horizontales, estudiamos si hay asíntotas oblicuas:
Asíntotas oblicuas
$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{ x \ln(e-\frac{1}{x}) }{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \ln(e-\frac{1}{x}) = \ln(e) = 1$
$ b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to \pm\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) - x $
Acá nos pasa algo parecido a lo que nos pasó en el anterior item, estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Vamos a usar razonamientos similares a los del item anterior. Sacamos factor común $x$:
$\lim_{x \to \pm\infty} x \ln(e-\frac{1}{x}) - x = x \cdot (\ln(e-\frac{1}{x}) - 1)$
Ahora lo convertimos en una indeterminación de tipo "cero por infinito", reescribimos como un cociente para aplicar L'Hopital:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ \ln(e-\frac{1}{x}) -1 }{ \frac{1}{x} }$
Ahora estamos frente a un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ \frac{1}{e-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} }{ -\frac{1}{x^2} } = \lim_{x \to \pm\infty} -\frac{1}{e-\frac{1}{x}} = -\frac{1}{e} $
Por lo tanto, $b = -\frac{1}{e}$.
La función tiene una asíntota oblicua en $y = x - \frac{1}{e}$